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hamayanhamayan's blog

E869120 and Good Triangles [yukicoder No.655]

https://yukicoder.me/problems/no/655

前提知識

解法

https://yukicoder.me/submissions/239141

頂点を(y,x)表記していると考える。
 
まずは配列Aを構築しよう。
関数bfsでやっているが、黒い点を0としてbfsで最短経路を求めていけばいい。
 
次にget関数を作ろう。
get(x,y,k) := (y,x)頂点とした高さkの部分正三角形の配列Aの総和
この関数を作るために、次の配列B,Cを用意しよう(pre関数)。
B[y][x] := sum{xx=0..x, yy=y..N-1} A[yy][xx]
C[y][x] := (y,x)を頂点とした最大の部分正三角形の配列Aの総和
配列Bは二次元累積和の要領で作り、配列Cは配列Bを使って作る。
感覚的には、公式解説の図のように作る。
あとは、この2つを使ってget関数を実装する。
 
答えを求めるが、まずはO(N^3)解から。
これは全ての部分正三角形を列挙してP以上かを見る。
具体的には頂点(y,x)と高さkを全て列挙する。
 
これでは間に合わないので、O(N^2 logN)にする。
頂点(y,x)は全列挙するが、高さkを増やすと総和は単調増加するので、P以上かはあるkが境界になる。
この境界を二分探索で特定しよう。
これでP以上となる個数が分かるので、これを足していくことで答えが得られる。

int N, K; ll P;
ll A[4040][4040];
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
int dx[6] = { -1, -1, 0, 1, 1, 0 }, dy[6] = { 0, -1, -1, 0, 1, 1 };
void bfs() {
    rep(y, 0, N) rep(x, 0, y + 1) A[y][x] = inf;
    queue<pair<int, int>> que;
    rep(i, 0, K) {
        int x, y; cin >> y >> x;
        x--; y--;
        A[y][x] = 0;
        que.push({ x, y });
    }

    while (!que.empty()) {
        auto q = que.front(); que.pop();
        int x, y;
        tie(x, y) = q;

        rep(d, 0, 6) {
            int xx = x + dx[d];
            int yy = y + dy[d];
            if (0 <= yy and yy < N and 0 <= xx and xx <= yy) {
                if (A[yy][xx] == inf) {
                    A[yy][xx] = A[y][x] + 1;
                    que.push({ xx, yy });
                }
            }
        }
    }
}
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
ll B[4040][4040], C[4040][4040];
void pre() {
    rep(y, 0, N) rep(x, 0, y + 1) B[y][x] = A[y][x];
    rrep(y, N - 1, 0) rep(x, 0, y + 1) {
        if (x) B[y][x] += B[y][x - 1];
        if (y < N - 1) B[y][x] += B[y + 1][x];
        if (x and y < N - 1) B[y][x] -= B[y + 1][x - 1];
    }

    rep(y, 0, N) rep(x, 0, y + 1) C[y][x] = A[y][x];
    rrep(y, N - 2, 0) rep(x, 0, y + 1) {
        C[y][x] += C[y + 1][x + 1];
        C[y][x] += B[y + 1][x];
        if (x) C[y][x] -= B[y + 1][x - 1];
    }
}
ll get(int x, int y, int k) {
    ll res = C[y][x];
    
    int yy = y + k;
    if (N <= yy) return res;

    res -= C[y + k][x + k];
    res -= B[y + k][x + k - 1];
    if (x) res += B[y + k][x - 1];

    return res;
}
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
void _main() {
    cin >> N >> K >> P;

    bfs();
    pre();

    ll ans = 0;
    rep(y, 0, N) rep(x, 0, y + 1) {
        int KK = (N - y);
        if (P <= get(x, y, 1)) ans += KK;
        else {
            int ng = 1, ok = KK + 1;
            while (ng + 1 != ok) {
                int md = (ng + ok) / 2;
                if (P <= get(x, y, md)) ok = md;
                else ng = md;
            }
            ans += KK - ok + 1;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}